状态外插方程
使用状态外插方程，能够基于当前系统状态预测下一个系统状态。它把当前n时刻的状态向量外插至未来n+1时刻。状态外插方程的一般形式是：
\[\boldsymbol{\hat{x}}_{n+1,n} = \boldsymbol{F\hat{x}}_{n,n} + \boldsymbol{Gu}_{n} + \boldsymbol{w}_{n}\]其中：
$\boldsymbol{\hat{x}}_{n+1,n}$ 是n时刻对n+1时刻状态的预测
$\boldsymbol{\hat{x}}_{n,n}$ 是n时刻系统状态向量的估计
$u_n$ 是 控制向量 或 输入向量 - 该系统的一个 可测量的（确定性的）输入
$w_n$ 是 过程噪声 或 扰动 - 能够影响系统状态的 不可测量的 输入
$\boldsymbol{F}$ 是 状态转移矩阵
$\boldsymbol{G}$ 是 控制矩阵 或 输入转移矩阵 （将控制量映射到状态变量上）
例1. 匀加速运动的飞机
考虑一个在三位空间匀加速运动的飞机，其状态向量为：
\[\boldsymbol{\hat{x}}_{n}= \left[ \begin{matrix} \hat{x}_{n}\\ \hat{y}_{n}\\ \hat{z}_{n}\\ \hat{\dot{x}}_{n}\\ \hat{\dot{y}}_{n}\\ \hat{\dot{z}}_{n}\\ \hat{\ddot{x}}_{n}\\ \hat{\ddot{y}}_{n}\\ \hat{\ddot{z}}_{n}\\ \end{matrix} \right]\]状态转移矩阵是：
\[\boldsymbol{F}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \Delta t & 0 & 0 & 0.5\Delta t^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \Delta t & 0 & 0 & 0.5\Delta t^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \Delta t & 0 & 0 & 0.5\Delta t^{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \Delta t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]\]例2. 读取加速度的飞机
此方程由基本运动学规律得到。考虑这样一个情况：在其它情况和上一个例子相同的情况下，飞机座舱内有一个操纵杆，我们直接知道驾驶员的加速指令。那么，加速度显然不能再写入待估计的状态向量中了。此时，状态向量是：
\[\boldsymbol{\hat{x}}_{n}= \left[ \begin{matrix} \hat{x}_{n}\\ \hat{y}_{n}\\ \hat{z}_{n}\\ \hat{\dot{x}}_{n}\\ \hat{\dot{y}}_{n}\\ \hat{\dot{z}}_{n}\\ \end{matrix} \right]\]描述测量到的飞机加速度向量（控制向量）是：
\[\boldsymbol{u}_{n}= \left[ \begin{matrix} \ddot{x}_{n}\\ \ddot{y}_{n}\\ \ddot{z}_{n}\\ \end{matrix} \right]\]状态转移矩阵是：
\[\boldsymbol{F}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \Delta t & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \Delta t & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]\]控制矩阵是：
\[\boldsymbol{G}= \left[ \begin{matrix} 0.5\Delta t^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0.5\Delta t^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0.5\Delta t^{2} \\ \Delta t & 0 & 0 \\ 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 0 & \Delta t \\ \end{matrix} \right]\]此时的状态外插方程为：
\[\boldsymbol{\hat{x}}_{n+1,n} = \boldsymbol{F\hat{x}}_{n,n} + \boldsymbol{Gu}_{n,n}\]注意为什么控制矩阵的下面还有三个 $\Delta t$ ，因为加速度除了对位置xyz产生影响，也对速度产生影响，控制矩阵的下面三行对应着速度状态。
练习1. 自由落体运动
不妨对自由落体运动进行建模考察。首先，其状态向量为：
\[\boldsymbol{\hat{x}}_{n}= \left[ \begin{matrix} \hat{h}_{n}\\ \hat{\dot{h}}_{n}\\ \end{matrix} \right]\]状态转移矩阵是：
\[\boldsymbol{F}= \left[ \begin{matrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\]控制向量是：
\[\boldsymbol{u}_{n}= \left[ \begin{matrix} g \end{matrix} \right]\]控制矩阵是：
\[\boldsymbol{G}= \left[ \begin{matrix} 0.5\Delta t^{2} \\ \Delta t \\ \end{matrix} \right]\]我发现，在作控制矩阵的时候，是仅仅考虑控制向量相对于上一个时刻的影响，什么意思，就是把上一个状态看作是零状态。比如说吧，匀加速直线运动，在作状态矩阵的时候，加速度对位移的影响就是二分之一at平方，这是把看作是从上一个时刻开始的初速度为零的匀加速运动了。我还以为要作差求解。这里一定要辨明。